第一百九十三章 摧枯拉朽(第2頁)

            

            

                【設a和b是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連接a和b的平面曲線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速度為零的質點從a點到b點沿這條曲線運動時所需時間最短。】
            

            

                答案如程茂德與莊立人所述，正是擺線（x=r*(t-sint)，y=r*(1-cost)）。
            

            

                （大華當然沒有阿拉伯數字與英文字母，但為了表述方便，本書涉及符號體系部分的表述一概與現實一致，各位就當我翻譯過了。）
            

            

                所謂擺線，是一個圓沿一條直線運動時，圓邊界上某一定點所形成的軌跡。
            

            

                洪範前世有眾多數學家被其特殊的性質所吸引，因此這一曲線還有個別名，被稱作“幾何學中的海倫”（thehelenofgeometers）。
            

            

                洪範繼續往下看四位理學士的解。
            

            

                最上頭是一個簡潔的質點受力分析圖。
            

            

                下方的求解過程稍有些繁雜，概括其大意，是將曲線橫切為無限層，使每一層無限的薄，則質點在每個瞬時的運動軌跡，可以認為是曲線所在位置的切線。
            

            

                因此，可以推理出最速降線的一個重要性質——任意一點上切線和鉛垂線所成角度的正弦與該點落下的高度的平方根的比為常數。
            

            

                具有這種性質的曲線正是擺線。
            

            

                從後世眼光來看，這個解答在理論上確實不算嚴謹，也難怪莊立人不滿。
            

            

                “這個解法是對的，但頗有些推理的意思。”
            

            

                洪範讀完一遍，說道。
            

            

                “你有更好的辦法？”
            

            

                程學士徑直問道，語氣頗衝。
            

            

                他倒不懷疑洪範的能力，只是覺得此人畢竟年輕，卻草草看了一遍就下定論，太過狂妄。
            

            

                “可以一試。”
            

            

                洪範對他一笑，拾起桌上的碳筆，在空白處開始書寫。
            

            

                勢能與動能定理都是現成的，所以有了第一個等式。
            

            

                【v=（2gy）^0.5】
            

            

                而後從質點運動關係易得第二個等式。
            

            

                【v=ds/dt=(1+y’^2)^0.5*dx/(2gy)^0.5】
            

            

                兩者聯立，對dt積分，自然有了第三個等式。
            

            

                【t=∫(1+y’^2)^0.5*dx/(2gy)^0.5】
            

            

                （公式編輯器發不出來，打不出積分角標）
            

            

                這樣，糧食質點整個運動的時間t便是y（x）的函數，問題的解就是滿足邊界條件
            

            

                y(0)=0，y(p)=q
            

            

                的所有連續函數y（x）中，使得上述泛函式取最小值的函數y。
            

            

                洪範寫完上述語句，直起身子。
            

            

                這時候，所有四位學士都已經圍在桌旁。
            

            

                “這樣問題就清楚了。”